2 . 3D Геометрия

2.1 Связь между 2D и 3D

Проблема в том , что в реальном мире , в отличие от экрана компьютера , каждая точка имеет 3 координаты: x, y, z. И нам нужно что-то придумать для того , чтобы при расчете экранных координат x и y как-то учитывалась координата z .
Любую прямую , проходящую через начало координат и через точку с координатами X, Y, Z , можно описать уравнением :

k*(X, Y, Z) = (kX, kY, kZ)

где k - некий к-т . Пусть 1/z = k. Тогда координата z :

1/Z * (X, Y, Z) = (X/Z, Y/Z, 1).

Если мы хотим приблизить-отодвинуть плоскость , формулу можно записать так :

a/Z * (X, Y, Z) = (X*a/Z, Y*a/Z, a)

На рисунке изображена проекционная плоскость , уравнение которой z=a,

 
Теперь можно вывести формулу для экранных координат :
X_SCREEN = X0 * SCALE / Z0
Y_SCREEN = Y0 * SCALE / Z0
SCALE обычно выбирается равным 256 .

Пример: Давайте попробуем изобразить на экране точку , которая в мировом пространстве изменяет координату z - псевдокод будет таков :

x = 1
y = 1
z = 256
while (gx<320) and (gx>-1) and (gy<200) and (gy>-1)
gx = x * 256 / z + 320 ; 320 - центр экрана
gy = y * 256 / z + 240 ;
putpixel(gx,gy,15)
z = z - 1
if (z = 0)
z = -1 ; упаси боже разделить на ноль
endif
endwhile
Мсвц-ный код : Source

2.2 Матрицы .

! Ориентация обьекта осуществляется в данном случае с помощью обьектной матрицы , которая базируется на 3-х векторах . Любое перемещение в пространстве можно реализовать с помощью операций над этой матрицей .

В 3D-кодировании, мы используем матрицу 3x3 (или 4x4, о чем позже) .
 


 

2.3 Вращение

При вращении обьекта мы умножаем обьектную матрицу на нижеприведенные матрицы :

Вокруг оси X :
 


 
Вокруг оси Y :
 

 
Вокруг оси Z :
 

 
cx, sx, cy, sy, cz, sz - косинусы и синусы углов поворота .
2.3.1 Вращение относительно произвольного вектора Базовая формула :

U = n*n(t) + cos(a)*(I-n*n(t)) + sin(a)*N(x).

n = вектор оси вращения
a = угол вращения
I = едиичная матрица
N(x) = матрица :
,
             где n* элементы вектора вращения .
Получаем матрицу :
 

 
Эта матрица справедлива для вращения вокруг векторов (1,0,0), (0,1,0),(0,0,1) .
 
for a=0 -> 2
axis.x = objectmatrix[a][0] ; in (y,x) syntax
axis.y = objectmatrix[a][1]
axis.z = objectmatrix[a][2]
tm[a] = rotate_with_the_matrix_above(
axis,angle_x,angle_y,angle_z)
endfor
matrix_mul(tm[0],tm[1])
matrix_mul(tm[0],tm[2])
matrix_mul(objectmatrix,tm[0])

2.4 Камера

Для реализации камеры в реальном енжине необходимо перемножить ротационную обьектную матрицу на матрицу камеры :
 
O = O * XYZ
O' = O * C,
где O' ротационная обьектная матрица , и C матрица камеры.
2.4.2 B-Splines

B-splines - это не прямые , это кривые . Имеется набор ключевых точек , относительно которых строятся сплайны , например вот так :
 


 

Сплайны строятся с использованием дуг. Если нам нужен сплайн , состоящий из n дуг , нам понадобятся n+3 точек : c(0),c(1),...,c(n+2). k-я дуга (k = 1,2,...,n) сплайна будет рассчитана по формуле
 

rk(t) =
1/6*(1-3t+3t^2-t^3)*c(k-1) +
1/6*(4-6t^2+3t^3)*c(k) +
1/6*(1+3t+3t^2-3t^3)*c(k+1) +
1/6*t^3*c(k+2),
Чем больше точек , тем кривая более гладкая .

Псевдокод может быть таким :
 

- point = таблица точек
- STEPS = число шагов
- k = текущий индекс
- bl_i = индекс сплайна (начинать с нуля)
for k=1 -> POINTS-2 ; ! начинаем с 1, не с 0
t=0
while t<1.0
t2=t*t;
t3=t*t*t;
k1=1-3*t+3*t2-t3;
k2=4-6*t2+3*t3;
k3=1+3*t+3*t2-3*t3;
bspline[bl_i].x =
1/6.0*(k1*point[k-1].x+
k2*point[k].x+
k3*point[k+1].x+
t3*point[k+2].x);
bspline[bl_i].y =
1/6.0*(k1*point[k-1].y+
k2*point[k].y+
k3*point[k+1].y+
t3*point[k+2].y);
bspline[bl_i].z =
1/6.0*(k1*point[k-1].z+
k2*point[k].z+
k3*point[k+1].z+
t3*point[k+2].z);
bl_i++;
t=t+1.0/STEPS
endwhile
endfor

2.5 Перемещение vertex с помощью обьектной матрицы

Представим вершину как вектор :
 
X = X0*a + Y0*d + Z0*g + center_x
Y = X0*b + Y0*e + Z0*h + center_y
Z = X0*c + Y0*f + Z0*i + center_z.
Нам понадобятся 9 умножений .

Псевдокод для вращения точки :
 

• tm (матрица трансформаций), om (обьектная матрица), t_om (обьектная матрица преобразований) (3,3)-float таблица
• (xp,yp,zp) начало координат , (x,y,z) вращаемая точка
• ox, oy, oz обьектные координаты
• ORIGO_X, ORIGO_Y координаты центра экрана
reset_matrix(om) ; обьектная матрица инициализируется 1 раз
xa,ya,za = 1*PI/180 ; 1 градус в радианах
ox = 0 ;
oy = 0
oz = SCALE
xp = 50
yp = 0
zp = 30
loop for each frame:
reset_matrix(tm)
reset_matrix(t_om)
tm[0,0] = cos(xa)*cos(za)
tm[0,1] = cos(ya)*sin(za)
tm[0,2] = -sin(ya)
tm[1,0] = sin(xa)*sin(ya)*cos(za)-cos(xa)*sin(za)
tm[1,1] = sin(xa)*sin(ya)*sin(za)+cos(xa)*cos(za)
tm[1,2] = sin(xa)*cos(ya)
tm[2,0] = cos(xa)*sin(ya)*cos(za)+sin(xa)*sin(za)
tm[2,1] = cos(xa)*sin(ya)*sin(za)-sin(xa)*cos(za)
tm[2,2] = cos(xa)*sin(ya)
matrix_mul(om,tm) ; умножаем обьектную матрицу на матрицу трансформаций
matrix_mul(t_om,om) ;
; вращение точки
x = xp*t_om[0,0] + yp*t_om[1,0] + zp*t_om[2,0] + ox
y = xp*t_om[0,1] + yp*t_om[1,1] + zp*t_om[2,1] + oy
z = xp*t_om[0,2] + yp*t_om[1,2] + zp*t_om[2,2] + oz
x = x * SCALE / z + ORIGO_X ; 2D transforming
y = y * SCALE / z + ORIGO_Y
putpixel(x,y)
stop_looping
! Обьектную матрицу мы не трогаем , угол вращения постоянен , и такая техника называется кумулятивным вращением .

2.6 Иерархия преобразований

Зададимся вопросом - как реализуются игры подобно кваке , где векторно- ориентированные обьекты двигаются приятно для глаза ?

Давайте рассмотрим человеческую руку : мы можем двигать пальцами , ладонью , запястьем , предплечьем , плечом . Очевидно , что движение пальцев ни на что не влияет , в то время как движение плеча влияет на все , и все части руки ниже плеча попадают в иерархическую зависимость .

Матрицу запястья назовем R, матрицу ладони K и матрицы для пальцев S1, S2, S3, S4, S5. Иерархия между ними следующая :
 


 
Мы можем вращать запястьем так :

R = R*XYZr.

Матрица ладони при вращении должна уже учитывать запястье :
K = K*XYZk*R, и формула для пальцев

S? = S?*XYZs?*K.

! При использовании этих формул вычисление должно идти по иерархии сверху вниз .

2.7 Обратные преобразования

Инверсия позволяет существенно увеличить скорость вычислений .

Для определения освещенности граней мы используем нормали . Для изменения световой окраски вместо вращения обьектных матриц проще изменить положение светового источника . Представим ситуацию , когда источник света неподвижен и направлен по оси z из минус бесконечности в начало координат и освещает куб , который находится в начале координат и который мы повернем на 90 градусов по оси y . После этого , естественно , наиболее освещенной окажется грань , которая была повернута в сторону положительной оси x . Того же самого эффекта мы добьемся , если мы куб оставим неподвижным , а развернем сам источник вокруг оси y на 90 градусов .

Шаги таковы :

1. Транспонируем обьектную матрицу(инверсия)
2. Изменим положение камеры
3. Для каждой грани обьекта делаем следующее :
a) Находим вектор между позицией камеры и любой вершиной грани
b)Находим косинус угла между этим вектором и вектором камеры (скалярное умножение векторов)
c)Если косинус > 0 , то грань видима .

Выглядит это вот так :
 


 

C = вектор камеры , alpha = искомый угол ,, N = нормаль грани .

!

Смотрите также: