1.1 Вектора

1.1.1 ОсновыВектор - линия с постоянным направлением и длиной , которую можно перемещать в координатной системе . Вектор можно нарисовать вот так :
 

 
Вектора обычно марккируются так : a=(x1,y1,z1), где x1 , y1 , z1 суть к-ты .

Введем понятие векторов единичной длины для каждой оси - i,j,k : для оси x - это вектор i=(1,0,0), и т.д.

1.1.2 Векторное уравнение

Пусть имеется точка A с координатами (Ax,Ay,Az), и точка B с координатами (Bx,By,Bz),тогда вектор с началом в точке A и концом в точке B есть
 
AB = (Bx-Ax,By-Ay,Bz-Az)= (X,Y,Z).
 
И что это значит ? А значит это буквально следующее : нам нужно встать в точку A и протопать в направлении X расстояние , равное (Bx-Ax) , после чего проделать еще 2 прогулки в направлении Y и Z .

1.1.3 Длина вектора

Длина вектора есть сумма квадратов его координат :
 
|AB| = sqrt( X^2 + Y^2 + Z^2 ).
 
Или , что то же самое , расстояние от начала координат до вершины .

Вычисление длины вектора необходимо , например , для phong shading и vertex normal calculation .

Задачка : Возьмем вектор a = (1,1,1). Вычислим единичный вектор , который к тому же параллелен к a.

Решение ::
|a| = sqrt ( 1^2 + 1^2 + 1^2 ) = sqrt(3),
1/sqrt(3)*(1,1,1) = ( 1/sqrt(3) , 1/sqrt(3) , 1/sqrt(3) ).
1.1.4 Сложение векторов
Результат - вектор :
 
a + b = (Ax+Bx,Ay+By,Az+Bz).
 
Задачка: Пусть a = (2,-6) и b = (1,3). Вычислить длину | 2a - b |.
 
Решение:

2a = (2*2,2*(-6)) = (4,-12).
2a-b = (4-1,-12-3) = (3,-15).
|2a-b| = sqrt( 3^2 + (-15)^2 ) = sqrt(9+225) = sqrt(234).

1.1.5 Скалярное умножение векторов

Два вектора можно перемножить 2-мя способами , и скалярное произведение есть произведение длин этих векторов на косинус угла между ними . В этом есть геометрический смысл : это есть ни что иное , как длина проекции вектора a на вектор b .
 


 
a dot b = |a||b|cos(a,b)= Ax*Bx + Ay*By + Az*Bz
 

Cos(a,b) есть угол alpha.

Кстати ! Когда угол = 90 градусов , то (cos90 = 0 -> a dot b = 0)!

Скалярное произведение пригодится при phong illuminating и много где еще .

Задачка : Вычислить угол между двумя векторами a+b и a-b, где a = (3,1) и b = (1,-7).
 

Решение:
a+b = (3+1 , 1-7) = (4,-6)
a-b = (3-1 , 1+7) = (2,8)
(a+b) dot (a-b) = |a+b| * |a-b| * cos(a+b,a-b), и с другой стороны
(a+b) dot (a-b) = 4*2 + (-6)*8 = 8-48 = -40.
|a+b| = sqrt( 4^2 + (-6)^2 ) = sqrt(16+36) = sqrt(52),
|a-b| = sqrt( 2^2 + 8^2 ) = sqrt(4+64) = sqrt(68). Из выражения
sqrt(52) * sqrt(68) * cos(a+b,a-b) = -40 мы получаем
cos(a+b,a-b) = -40 / sqrt(52*68).
Этот угол равен 132.3 градуса .
1.1.6 Векторная проекция
Вычислим проекцию одного вектора на другой .
Для этого вычислим скалярное произведение 2-х векторов , после чего умножим результат на вектор b :

a's component parallel to b = (a dot b)*b.

Результат представляет из себя масштабирование вектора b .
Это пригодится при конвертации вектора в матрицу .

1.1.7 Векторное умножение

В 3-мерном пространстве , векторное умножение axb ("a cross b") 2-х векторов a и b есть вектор , который перпендикулярен к каждому из 2-х векторов a и b :


 

|a x b| = |a||b|sin(a,b) (что эквивалентно площади параллелограмма)

Другие свойства векторного умножения :

- a x a = 0,
- a x b = -(b x a),
- r - константа, (ra) x b = r(a x b),
- a x (b + c) = a x b + a x c,
- i x j = k (k x i = j и j x k = i).

Мы добрались до определителя матрицы - (кстати , с этого места когда-то начинался мой курс математики в политехе ) .
 


 

Для нахождения векторного умножения , можно использовать определитель матрицы 3*3 :
 

= ( Ay*Bz-By*Az , Az*Bx-Bz*Ax , Ax*By-Bx*Ay )

Векторное умножение полезно при нахождении нормалей .

Задачка : Найти площадь параллелограмма , определенного векторами : (1,-1,2) и (2,3,-1).

Решение :



= (-5,5,5).

Площадь равна длине вот этого вектора = sqrt( (-5)^2 + 5^2 + 5^2 ) = sqrt(75).

1.1.8 Умножение 3-х векторов

(axb) dot c, и равно оно обьему тела , сформированного этими 3-мя векторами . Кстати , если обьем = 0 , то все 3 вектора лежат в одной плоскости !

Задачка : Найти такую константу a , чтобы 3 вектора (1,-1,2), (1,3,-1), (a,-4,1) оказались в одной плоскости .

Решение :
Сначала найдем векторное умножение первых 2-х векторов , затем скалярно умножим результат на 3-й вектор : -5a - 15 = 0 <=> -5a = 15 <=> a = -3.

1.2 Матрицы

1.2.1 Основы

Специально организованная таблица действительных или комплексных чисел зовется матрицей:
 


 

Элемент матрицы обозначается как a(y,x) , где 1-й индекс есть номер строки и второй - номер столбца .

Матрица из 1-й строки

a = [ a(1) a(2) .. a(n) ]

Матрицы с одинаковым числом строк и столбцов суть квадратные матрицы . Если все элементы матрицы=0 , кроме диагональных , то это диагональная матрица :
 


 
В идентичной матрице к тому же по диагонали везде стоят единицы .

Матрица называется ортогональной , если вектора , образованные из строк или столбцов , взаимно перпендикулярны и имеют единичную длину .

Матрица B, определенная вот так

A*B = I <=> B = A^(-1),

называется инверсной матрицей для A.

1.2.2 Матричные операции

1.2.2.1 Сложение

Каждый элемент b(j,k) второй матрицы складывается с каждым элементом a(j,k) первой матрицы:
 

1.2.2.2 Умножение на скаляр

Здесь аналогично сложению , только вместо знака + будет * . Эта операция масштабирует матрицу .

1.2.2.3 Умножение 2-х матриц

Вот алгоритм :

Это напоминает скалярное векторное умножение . Сначала 1-я строчка 1-й таблицы умножается скалярно на 1-й столбец 2-й таблицы , затем на 2-й стобец , и т.д.

! При перемножении матриц есть существенное ограничение : Если первая матрица имеет размерность p * q, вторая должна иметь размерность q * r, причем p и r могут быть различны , а q - нет ! Результирующая матрица будет иметь размерность p * r .

Полезно при object transformations.

1.2.2.3.1 Умножение на вектор

Рассмотрим вектор :

Xi+Yj+Zk = [ X Y Z ].

Умножим его на матрицу :
 

 
Полезно для vertex transformations .

1.2.2.4 Транспонирование

Пусть имеется матрица A(pxn). Транспонированная к ней матрица есть

C(nxp) = AT,

где C(j,k) = A(k,j).

Транспонирование необходимо при вращении вокруг произвольного вектора
Транспонирование ортогональной матрицы есть инверсия и используется при оптимизации

Содержание

Смотрите также:
http://blog-codera.net/